Способы определения ускорений точек плоской фигуры. Определение скоростей точек плоской фигуры

Где – ускорение точки А , принятой за полюс;

– ускорение т. В во вращательном движении вокруг полюса А ;

– соответственно касательная и нормальная составляющие
(рис. 3.25). Причем

(3.45)

где a – угол наклона относительного ускорения к отрезку АВ .

В случаях, когда w и e известны, формула (3.44) непосредственно используется для определения ускорений точек плоской фигуры. Однако во многих случаях зависимость угловой скорости от времени неизвестно, поэтому и угловое ускорение неизвестно. Кроме того, линия действия вектора ускорения одной из точек плоской фигуры известно. В этих случаях задача решается проектированием выражения (3.44) на соответствующим образом выбранные оси. Третий подход к определению ускорений точек плоской фигуры основан на использовании мгновенного центра ускорений (МЦУ).

В каждый момент времени движения плоской фигуры в своей плоскости, если w и e не равны нулю одновременно, имеется единственная точка этой фигуры, ускорение которой равно нулю. Эту точку называют мгновенным центром ускорений. МЦУ лежит на прямой, проведенной под углом a к ускорению точки, выбранной в качестве полюса, на расстоянии от которого

(3.46)

При этом угол a надо отложить от ускорения полюса в направлении дуговой стрелки углового ускорения e (рис. 3.26). В различные моменты времени МЦУ лежит в разных точках плоской фигуры. В общем случае МЦУ не совпадает с МЦС. При определении ускорений точек плоской фигуры МЦУ используется в качестве полюса. Тогда по формуле (3.44)

так как и следовательно

(4.48)

Ускорение направлено под углом a к отрезку Bq , соединяющему точку В с МЦУ в сторону дуговой стрелки углового ускорения e (рис. 3.26). Для точки С аналогично.

(3.49)

Из формулы (3.48), (3.49) имеем

Таким образом, ускорение точек фигуры при плоском движении можно определить так же как при чистом её вращении вокруг МЦУ.

Определение МЦУ.

1 В общем случае, когда w и e известны и не равны нулю, для угла a имеем

МЦУ лежит на пересечении прямых линий, проведенных к ускорениям точек фигуры под одним и тем же углом a, причем угол a нужно откладывать от ускорений точек в направлении дуговой стрелки углового ускорения (рис. 3.26).

Рис. 3.26

Рис. 3.27

2 В случае w¹0, e = 0, и, следовательно, a = 0. МЦУ лежит в точке пересечения прямых линий, по которым направлены ускорения точек плоской фигуры (рис. 3.27)

3 В случае w = 0, e ¹ 0, МЦУ лежит в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках А , В , С к соответствующим векторам ускорений (рис. 3.28).

	Рис. 3.28

Определение углового ускорения при плоском движении

1 Если известен угол поворота или угловая скорость в зависимости от времени, то угловое ускорение определяется по известной формуле

2 Если в указанной выше формуле , Aр – расстояние от точки А плоской фигуры до МЦС, величина постоянная, то угловое ускорение определяется путем дифференцирования угловой скорости по времени

(3.52)

где – касательно ускорение точки А .

3 Иногда угловое ускорение удается найти путем проектирования соотношения типа (3.44) на соответствующим образом выбранные оси координат. При этом ускорение т. А , выбранной в качестве полюса, известно, известна также линия действия ускорения другой т.В фигуры. Из таким образом полученной системы уравнений определяется касательное ускорение Тогда e вычисляется по известной формуле .

Задача КЗ

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис. К3.0 – К3.7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и E (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами O 1 , О 2 шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно l 1 = 0,4 м, l 2 = 1,2 м,
l 3 = 1,4 м, l 4 = 0,6 м. Положение механизма определяется углами a, b, g, j, q. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3а (для рис. 0 – 4) или в табл. К3б (для рис. 5 – 9); при этом в табл. К3а w 1 и w 2 – величины постоянные.

	Рис. К3.0
		Рис. К3.1

	Рис. К3.2		Рис. К3.3

Рис. К3.5

Рис. К3.4

	Рис. К3.6		Рис. К3.7

	Рис. К3.8		Рис. К3.9

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти». Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол g на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9 – против хода часовой стрелки и т.д.).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом a; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К3 (см. рис. К3б).

Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против часовой стрелки, а заданные скорость и ускорение a B – от точки В к b (на рис. 5 – 9).

Указания. Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решения для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

При определении ускорений точек механизма исходить из векторного равенства где А – точка, ускорение которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если точка А движется по дуге окружности, то ); В –точка, ускорение которой нужно определить (о случае, когда точка В тоже движется по дуге окружности, см. примечание в конце рассмотренного ниже примера К3).

Пример К3 .

Механизм (рис. К3а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами O 1 и О 2 шарнирами.

Дано: a = 60°, b = 150°, g = 90°, j = 30°, q = 30°, AD = DB, l 1 = 0,4 м, l 2 = 1,2м, l 3 = 1,4 м, w 1 = 2 с –1 , e 1 = 7 с –2 (направления w 1 и e 1 против хода часовой стрелки).

Определить: v B , v E , w 2 , a B , e 3 .

1 Строим положение механизма в соответствии с заданными углами
(рис. К3б, на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).

	Рис. К3б

2 Определяем v B . Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти v B , надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление По данным задачи, учитывая направление w 1 можем определить численно

v A = w 1 ×l 1 = 0,8 м/с; (1)

Направление найдем, учтя, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) па прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

v B ×cos 30° = v A ×cos 60° и v B = 0,46 м/с (2)

3 Определяем Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ ; это точка С 3 , лежащая на пересечении перпендикуляров к восставленных из точек А и В (к перпендикулярен стержень 1). АВ вокруг МЦС С 3 . Вектор перпендикулярен отрезку C 3 D , соединяющему точки D и С 3 , и направлен в сторону поворота. Величину v D найдем из пропорции

Чтобы вычислить C 3 D и С 3 В, заметим, что DAC 3 B – прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что С 3 В = AB×sin 30° = AB×0,5 = BD. Тогда DBC 3 D является равносторонним и С 3 В = C 3 D. В результате равенство (3) дает

v D = v B = 0,46 м/с; (4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню O 2 E , вращающемуся вокруг O 2 ­ , то Тогда, восставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям , построим МЦС C 2 стержня DE. По направлению вектора определяем направление поворота стержня DE вокруг центра С 2 . Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К3б видно, что откуда С 2 E = С 2 D. Составив теперь пропорцию, найдем, что

V E = v D = 0,46 м/с. (5)

4 Определяем w 2 . Так как МЦС стержня 2 известен (точка С 2 ) и
C 2 D = l 2 /(2cos 30°) = 0,69 м, то

(6)

5 Определяем (рис. К3в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию точки В. По данным задачи можем определить где численно

(7) (7)

Рис. К3в

Вектор направлен вдоль AO 1 , а – перпендикулярно АО 1: изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К3в). Так как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и . Для определения воспользуемся равенством

Изображаем на чертеже векторы (вдоль ВА от В к А )и (в любую сторону перпендикулярно ВА) ; численно . Найдя w 3 с помощью построенного МЦС С 3 стержня 3, получим

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения а В и их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить а В, спроектируем обе части равенства (8) на направление ВА (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору Тогда получим

Рассматривая плоское движение плоской фигуры как сумму поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся с ускорением a A полюса A , и вращательного

движения вокруг этого полюса, получаем формулу для определения ускорения какой-либо точки B плоской фигуры в виде

a B =		a A +		a BA =		a A + a BAв +	a BAц .
Здесь a						ускорение	полюса A ; a		Ускорение

вращательного движения точки B вокруг полюса A , которое как в случае вращения тела вокруг неподвижной оси векторно

складывается из вращательного ускорения a BA в и центро-

стремительного ускорения a BA ц . Модули этих ускорений определяются по формулам

модуль углового ускорения. Вращательное ускорение a BA в направлено перпендикулярно отрезку AB в сторону дуговой стрелки ε , а центростремительное ускорение a BA ц направлено по линии AB от точки B к полюсу A (рис. 12). Модуль полного ускорения a BA точки B относительно полюса A в силу условия a BA в a BA ц вычисляется по формуле

Рис 12. Определение ускорения точки B

с использованием полюса A.

Для нахождения ускорения a B по формуле (2.18)

рекомендуется использовать аналитический способ . В этом способе вводится прямоугольная декартова система координат (система Bxy на рис. 12) и вычисляются проекции a Bx , a By

искомого ускорения как алгебраические суммы проекций ускорений, входящих в правую часть равенства (2.18):

(a в

(a ц

a cosα

ц ;

(a в

(a ц

sinα

где α - угол между вектором a A

и осью Bx . По найденным

Изложенный способ определения ускорений точек плоской фигуры применим для решения задач, в которых задано движение полюса A и угол поворота фигуры

уравнениями (2.14). Если зависимость угла поворота от времени неизвестна, то для заданного положения фигуры приходится определять мгновенную угловую скорость и мгновенное угловое ускорение. Способы их определения рассматриваются далее в примерах выполнения задания 2.

Отметим также, что при определении ускорений точек плоской фигуры может использоваться мгновенный центр ускорений – точка, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Однако применение мгновенного центра ускорений связано с довольно трудоемкими методами нахождения его положения, поэтому определение ускорений точек плоской фигуры рекомендуется выполнять по формуле

2.4 Задание 2. Определение скоростей и ускорений точек плоского механизма

Механизмы (см. с. 5) называются плоскими , если все его точки движутся в одной или в параллельных друг другу плоскостях, иначе механизмы называются пространствен-

ными.

В задании 2.1 рассматриваются планетарные механизмы ,

в задании 2.2 – кривошипно-позунные механизмы, а в задании

2.3 помимо названных двух типов изучается движение механизмов других типов. Большинство рассматриваемых механизмов являются механизмами с одной степенью свободы ,

в которых для определения движения всех звеньев нужно задать закон движения одного звена.

Задание 2.1

В планетарном механизме (рис. 13) кривошип 1 длиной OA = 0.8 (м ) вращается вокруг неподвижной оси O , перпендикулярной плоскости рисунка, по закону

ϕ OA (t ) = 6t − 2t 2 (рад). В точке A кривошип шарнирно соединен

с центром диска 2 радиуса r = 0.5 (м), находящегося во внутреннем зацеплении с неподвижным колесом 3, соосным с

кривошипом OA . На диске 2 в момент времени t 1 = 1 (с) задана точка B , положение которой определяется расстоянием AB = 0.5 (м) и углом α = 135° . (В заданный момент времени угол α отсчитывается от оси Ax в направлении против хода часовой стрелки при α > 0 или в противоположном направлении при

α < 0).

Рис 13. Планетарный механизм и способ задания положения точки B.

Определить в момент времени t 1

1) скорость точки B двумя способами: с использованием мгновенного центра скоростей (МЦС) диска 2 и с использованием полюса A ;

2) ускорение точки B с использованием полюса A .

1) Определение скорости точки B .

Вначале требуется выполнить графическое изображение

механизма в выбранном масштабе (например, в 1 см рисунка – 0.1 м отрезка OA и радиуса r ) и показать заданное положение точки B (рис. 14).

Рис 14. Определение скорости точки B с использованием мгновенного центра скоростей Р и полюса А.

По заданному закону вращения кривошипа ОА найдем скорость центра А диска 2. Определяем угловую скорость кривошипа в заданный момент времени t 1 = 1 (c ):

ω OA = ϕ ! OA = (6 t −				6 − 4 t ;	ω OA (t 1 ) = 2 (рад / с ).

Полученная величина ω OA (t 1 ) является положительной, поэтому дуговую стрелку ω OA направляем против хода часовой стрелки, то есть в положительном направлении отсчета угла ϕ .

Вычисляем модуль скорости

v A = ω OA (t 1 ) OA = 2 0.8 = 1.6 (м/с )

и строим вектор скорости v A перпендикулярно ОА в сторону дуговой стрелки ω OA .

дуговая стрелка ω OA и вектор v A изображаются в противоположном направлении, а для расчета v A используется модуль

ω OA (t 1 ) .

Мгновенный центр скоростей (точка Р ) диска 2 расположен в точке его соприкостновения с колесом 3 (см. п. 5 на с. 34). Определим мгновенную угловую скорость ω диска по найденной величине скорости v A :

ω = v A / AP = v A / r = 1.6 / 0.5 = 3.2 (рад / c )

и изображаем на рисунке ее дуговую стрелку (рис. 14).

Для определения скорости точки В с использованием МЦС находим расстояние ВР по теореме косинусов из треугольника АВР :

BP = AB2 + AP2 − 2 AB AP cos135 " =

0.5 2 + 0.52 − 2 0.52 (− 2 / 2) ≈ 0.924 (м ).

Скорость v B равна по модулю

v B = ω PB = 3.2 0.924 ≈ 2.956 (м / c )

и направлена перпендикулярно отрезку РВ в сторону дуговой стрелки ω .

Тот же вектор v B может быть найден с использованием полюса А по формуле (2.15): v B = v A + v BA . Перенесем вектор v A в точку В и построим вектор v BA , перпендикулярный отрезку АВ и направленный в сторону дуговой стрелки ω . Модуль

что угол между векторами v A и v BA равен 45° . Тогда по формуле (2.16) находим

vB = vA 2 + vBA 2 + 2 vA vBA cos 45 " =

1.6 2 + 1.62 + 2 1.62 ( 2 / 2) ≈ 2.956 (м / c ).

На рисунке вектор v B должен совпадать с диагональю параллелограмма, сторонами которого являются векторы v A и v BA . Это достигается построением векторов v A , v B и v BA в выбран-

ном масштабе (например, 1 см на рисунке соответствует 0.5 м/с ). Отметим, что приведенные в рассмотренном примере масштабы можно изменять и назначать самостоятельно.

2). Определение ускорения точки В .

Ускорение точки В определим по формуле (2.18) с использованием полюса А , ускорение которого складывается векторно из касательного и нормального ускорений:

a B = a A + a BA в + a BA ц = a τ A + a A n + a BA в + a BA ц .

По заданному закону вращения кривошипа ОА найдем его угловое ускорение:

ε OA = ω ! OA = (6 − 4t ! ) = − 4 (рад / с 2 ).

Полученная величина ε OA является отрицательной, поэтому дуговую стрелку ε OA направляем по ходу часовой стрелки, то

есть в отрицательном направлении, а в дальнейшем расчете будем брать эту величину по модулю.

Модули касательного и нормального ускорений полюса А в заданный момент времени t 1 находим по формулам (2.11):

a τ A = ε OA OA = 4 0.8 = 3.2 (м / c 2 ); a n A = ω OA 2 OA = 22 0.8 = 3.2 (м / c 2 ).

Касательное ускорение a τ A направлено перпендикулярно кривошипу ОА в сторону дуговой стрелки ε OA , а нормальное ускорение a A n - от тоски А к точке О при любом направлении угловой скорости кривошипа (рис. 15). Полное ускорение a A определять не требуется.

Рис 15. Определение ускорения точки B с использованием полюса А.

ω = v A / r = ω OA (OA / r ) .
	по определению угловое	ускорение	диска (при
OA/r = const) равно
ε = ω ! =	ω ! OA (OA / r ) = ε OA (OA / r ) = −	4 (0.8 / 0.5) =	− 6.4 (рад / c 2 ).

угловую стрелку ε направляем в противоположном направлении к дуговой стрелки ω .

Вычислим модули вращательного и центростремительного ускорений точки В относительно полюса А по формулам

a BAв						AB =	6.4 0.5 = 3.2 (м / c 2 );
a BAц						2 AB =	3.22 0.5 = 5.12 (м / c 2 ).

Вектор a BA в направлен перпендикулярно отрезку АВ в сторону

дуговой стрелки ε , а вектор a BA ц - от точки В к полюсу А

Ускорение точки В найдем по его проекциям на оси координатной системы Axy :

a Bx = (a τ A ) x +					(a An ) x + (a BAв ) x + (a BAц ) x =
	0 − a n A −			a BA в cos 45" +			a BAц	cos 45" =
		3.2 −				/ 2 + 5.12		2 / 2 ≈	− 1.84 (м / c 2 );
a By = (a τ A ) y +					(a An ) y + (a BAв ) y + (a BAц ) y =
		a τ A +	0 −		a BAв	cos45"	− a BA ц cos 45" =
		3.2 −				/ 2 − 5.12		2 / 2 ≈	− 9.08 (м / c 2 ).
Модуль a B =		a Bx2			a By2	≈ 9.27 (м / c 2 ).
					ускорения		a τ A ,	a A n ,	a BA в , a BA ц требуется

изобразить в выбранном масштабе и построить в этом же масштабе вектор a B по найденным проекциям (рис. 15).

Исходные данные для самостоятельного выполнения задания 2.1 приведены в таблице на с. 44.

				Кинематика твердого тела
		ϕ OA (t), рад				α , град	t 1 , c
		t2 + 3t
		8t – 3t2
		t2 - 4t
		3t – 2t2
		2t2 - t
		4t – t2
		2t2 - 6t
		2t – 3t2
		3t2 - 4t
		8t – 2t2
		4t2 - 6t
		3t – 4t2
		4t2 - 2t
		6t – t2
		2t2 - 4t
		4t – 3t2
		2t2 + t
		4t – 2t2
		3t2 - 10t
		t – 2t2
		3t2 + 2t
		6t – 3t2
		3t2 - 8t
		2t – 4t2

Определение скоростей точек плоской фигуры

Было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью полюса А , и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрическииз скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.

В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором (рис.3), где - радиус-вектор полюса А , - вектор, определяю­щий положение точки М относительно осей , перемещающих­ся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отноше­нию к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А ). Тогда

В полученном равенстве величина есть скорость полюса А ; величина же равна скорости , которую точка М получает при , т.е. относительно осей , или, иначе говоря, при вращении фигуры вокруг полюса А . Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что

Скорость , которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А :

где ω - угловая скорость фигуры.

Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А , принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление скорости находятся построением соответствующего параллело­грамма (рис.4).

Рис.3Рис.4

Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Определение скоростей точек плоской фигуры (или тела, дви­жущегося плоскопараллельно) связано обычно с довольно сложными расчетами. Однако можно получить ряд других, практически более удобных и простых мето­дов определения скоростей точек фигуры (или тела).

Рис.5

Один из таких методов дает тео­рема: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу. Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры (или тела). Принимая точку А за полюс (рис.5), получаем . Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную по АВ , и учитывая, что вектор перпендику­лярен АВ , находим

и теорема доказана.

Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей.

Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на поня­тии о мгновенном центре скоростей.

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигу­ры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Легкоубедиться, что если фигура движется непоступательно , то такая точка в каждый момент времени t существует и притом единственная. Пусть в момент времени t точки А и В плоской фигуры имеют скорости и , не параллельные друг другу (рис.6). Тогда точка Р , лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору и В b к вектору , и будет мгновенным центром скоростей так как . Всамомделе,еслидопустить, что , то по теореме о проекциях скоростей вектор должен быть одновременно перпендикулярен и АР (так как ) и ВР (так как ), что невозможно. Из той же теоремы видно, что никакая другая точ­ка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю.

Рис.6

Если теперь в момент времени взять точку Р за полюс, то скорость точки А будет

так как . Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигурыопределяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом

Из равенств, следует еще, что точек плоской фигуры пропорциональны их расстоя­ниям от МЦС.

Полученные результаты приводят к следующим выводам.

1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать то­лько направления скоростей и каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры (или траектории этих точек); мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, вос­ставленных из точек А и В к скоростям этих точек (или к каса­тельным к траекториям).

2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры, надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В . Тогда, вос­ставив из точек А и В перпендикуляры к и , построим мгно­венный центр скоростей Р и по направлению определим направ­ление поворота фигуры. После этого, зная , найдем скорость любой точки М плоской фигуры. Направлен век­тор перпендикулярно РМ в сторону поворота фигуры.

3. Угловая скорость плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от мгновенного центра скоростей Р :

Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей.

а) Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверх­ности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касаю­щаяся неподвижной поверхности (рис.7), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю ( ), и, следовательно, является мгновенным центром скоростей. Примером служит качение колеса по рельсу.

б) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна (рис.8,а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны . При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что т. е. ; аналогичный результат получается для всех других точек. Следовательно, в рас­сматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению, т.е. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (такое состояние движения тела называют еще мгновенно поступа­тельным). Угловая скорость тела в этот момент времени, как видно равна нулю.

Рис.7

Рис.8

в) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна , то мгновен­ный центр скоростей Р определяется построением, показанным на рис.8,б. Справедливость построений следует из пропорции. В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центра Р надо кроме направлений знать еще и модули скоростей .

г) Если известны вектор скорости какой-нибудь точки В фигуры и ее угловая скорость , то положение мгновенного центра скоростей Р , лежащего на перпендикуляре к (рис.8,б), можно найти как .

Решение задач на определение скорости.

Для определения искомых кинематических характеристик (угловой скорости тела или скоростей его точек) надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки и направление скорости другой точки сечения этого тела. С определения этих характеристик по данным задачии следует начинать решение.

Механизм, движение которого исследуется, надо изображать на чертеже в том положении, для которого требуется определить соответствующие характеристики. При расчете следует помнить, что понятие о мгновенном центре скоростей имеет место для данного твердого тела. В механизме, состоящем из нескольких тел, каждое непоступательное движущееся тело имеет в данный момент времени свой мгновенный центр скоростей Р и свою угловую скорость.

Пример 1. Тело,имеющееформука­тушки, катится своим средним цилиндром по неподвиж­ной плоскости так, что (см). Радиусы цилин­дров: R = 4 сми r = 2 см (рис.9)..

Рис.9

Решение. ОпределимскороститочекА,В иС .

Мгновенныйцентр скоростей нахо­дится в точке касания катушки с плоско­стью.

Скоростьполюса С.

Угловая скорость катушки

Скорости точекА иВ направленыперпендикулярноотрезкам прямых, соединяющих эти точки с мгновенным центром скоростей. Величина скоростей:

Пример 2. Колесо радиуса R = 0,6 м катится без скольжения по прямолинейному участку пути (рис.9.1); скорость его центра С постоянна и равна v c = 12 м/с. Найти угловую скорость колеса и скорости концов М 1 , М 2 , M 3 , М 4 вертикального и горизонтального диаметров колеса.

Рис.9.1

Решение. Колесо совершает плоскопараллельное движение. Мгно­венный центр скоростей колеса находится в точке М1 контакта с горизонтальной плоскостью, т. е.

Угловая скорость колеса

Находим скорости точек М2 , M3 и М4

Пример 3 . Ведущее колесо автомобиля радиуса R = 0,5 м катится со скольжением (с буксованием) по прямолинейному участку шоссе; скорость его центра С постоянна и равна v c = 4 м/с. Мгновенный центр скоростей колеса находится в точке Р на расстоянии h = 0,3 м от плоскости качения. Найти угловую скорость колеса и скорости точек А и В его вертикального диаметра.

Рис.9.2

Решение. Угловая скорость колеса

Находим скорости точек А и В

Пример 4. Найти угловую скорость шатуна АВ и скорости точек В и С кривошипно-шатунного механизма (рис.9.3,а ). Дана угловая скорость кривошипа OA и размеры: ω ОА = 2 с -1 , OA = АВ = 0,36 м, АС = 0,18 м.

а) б)

Рис.9.3

Решение. Кривошип OA совершает вращательное движение, шатун АВ - плоскопараллельное движение (рис.9.3,б ).

Находим скорость точки А звена OA

Скорость точки В направлена по горизонтали. Зная направление скоростей точек А и В шатуна АВ, определяем положение его мгновенного центра скоростей - точку Р АВ.

Угловая скорость звена АВ и скорости точек В и С:

Пример 5. Стержень АВ скользит концами по взаимно перпендикулярным прямым так, что при угле скорость (рис.10). Длина стержня AB = l . Определим скорость конца А и угловую скорость стержня.

Рис.10

Решение. Нетрудно определить направление век­тораскороститочкиА , скользящей по вер­тикальнойпрямой. Тогда находится на пересечении перпендикуляровк и (рис. 10).

Угловая скорость

Скорость точки А :

А ско­рость центра стержня С , например,направленаперпендикулярно иравна:

План скоростей.

Пусть известны скорости нескольких точек плоского сечения тела (рис.11). Если эти скорости отложить в масштабе из некоторой точки О и соединитьихконцыпрямыми,то получитсякартинка,котораяназывается планом скоростей. (На рисунке ) .

Рис.11

Свойстваплана скоростей.

а)Стороны треугольников на плане скоростей перпендику­лярнысоответствующим прямым на плоскости тела.

Действительно, . Но на плане скоростей . Значит причём перпендикулярнаАВ , по­этому и .Точно так же и .

б) Стороныплана скоростейпропорциональны соответствующим от­резкам прямых на плоскости тела.

Таккак , то отсюдаи следует, что стороныплана скоростей пропорциональны отрезкам прямых на плоскости тела.

Объединивобасвойства,можносделать вывод,что план скоростей подобенсоответствующейфигуренателе и повёрнут относительно её на 90˚ понаправлениювращения.Этисвойстваплана скоростей позволяют определять скорости точек тела графическим способом.

Пример 6. Нарис.12 вмасштабеизображёнмеханизм. Известна угловая скорость звена ОА .

Рис.12

Решение. Чтобы построить план ско­ростейдолжнабытьизвестна скоростькакой-нибудьодной точкиихотябынаправление вектораскорости другой. В на­шем примере можно определить скорость точки А : и направлениееёвектора .

Рис.13

Откладываем (рис.13) из точки о в масштабе Известно направлениевектораскоростиползунаВ – горизонтальное. Проводим на плане скоростей из точки О прямую I понаправлению скорости , на которойдолжнанаходитьсяточка b , определяющая скорость этой точки В . Таккакстороныпланаскоростей перпендикулярны соответствующим звеньяммеханизма,тоизточкиа проводимпрямуюперпендикулярно АВ допересеченияс прямой I . Точка пересечения определит точку b , а значит и скорость точки В : . По второму свойству плана скоростей его стороны подобны звеньяммеханизма. Точка С делит АВ пополам, значит и с должна делить а b пополам. Точка с определит на плане скоростей величину и направление скорости (если с соединить с точкой О ).

СкоростьточкиЕ равнанулю, поэтомуточка е на плане скоростейсовпадает с точкой О .

Далее.Должнобыть и . Проводим эти прямые, находимихточкупересечения d .Отрезоко d определитвекторскорости .

Пример 7. В шарнирном четырехзвеннике ОАВС ведущий кривошип OA см равномерно вращается вокруг оси О с угловой скоростью ω = 4 с -1 и при помощи шатуна АВ = 20 см приводит во вращательное движение кривошип ВС вокруг оси С (рис.13.1,а ). Определить скорости точек А и В, а также угловые скорости шатуна АВ и кривошипа ВС.

а) б)

Рис.13.1

Решение. Скорость точки А кривошипа OA

Взяв точку А за полюс, составим векторное уравнение

где

Графическое решение этого уравнения дано на рис.13.1,б (план скоростей).

С помощью плана скоростей получаем

Угловая скорость шатуна АВ

Скорость точки В можно найти с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела на соединяющую их прямую

В и угловая скорость кривошипа СВ

Определение ускорений точек плоской фигуры

Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям О xy (см.рис.30) определяется радиусом-вектором - угол между вектором и отрезком МА (рис.14).

Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорениякакой-нибудь другой точки А , принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения , находятся построением соответствующего параллелограмма (рис.23).

Однако вычисление и ускорения какой-нибудь точки А этой фигуры в данный момент; 2) траектория какой-нибудь другой точки В фи­гуры. В ряде случаев вместо траектории второй точки фигуры до­статочно знать положение мгновенного центра скоростей.

Тело (или механизм) при решении задач надо изображать в том положении, для которого требуется определить ускорение соответ­ствующей точки. Расчет начинается с определения по данным задачи скорости и ускорения точки, принимаемой за полюс.

План решения (если заданы скорость и ускорение одной точки плоской фигуры и направления скорости и ускорения другой точки фигуры):

1) Находим мгновенный центр скоростей, восставляя перпендикуляры к скоростям двух точек плоской фигуры.

2) Определяем мгновенную угловую скорость фигуры.

3) Определяем центростремительное ускорение точки вокруг полюса, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения.

4) Находим модуль вращательного ускорения, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения.

5) Определяем мгновенное угловое ускорение плоской фигуры по найденному вращательному ускорению.

6) Находим ускорение точки плоской фигуры при помощи формулы распределения ускорений.

При решении задач можно применять «теорему о проекциях векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела»:

«Проекции векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела, которое совершает плоскопараллельное движение, на прямую, повернутую относительно прямой, проходящей через эти две точки, в плоскости движения этого тела на угол в сторону углового ускорения, равны».

Эту теорему удобно применять, если известны ускорения только двух точек абсолютно твердого тела как по модулю, так и по направлению, известны только направления векторов ускорений других точек этого тела (геометрические размеры тела не известны), не известны и – соответственно проекции векторов угловой скорости и углового ускоренияэтого тела на ось, перпендикулярную плоскости движения, не известны скорости точек этого тела.

Известны еще 3 способа определения ускорений точек плоской фигуры:

1) Способ основан на дифференцировании дважды по времени законов плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела.

2) Способ основан на использовании мгновенного центра ускорений абсолютно твердого тела (о мгновенном центре ускорений абсолютно твердого тела будет рассказано ниже).

3) Способ основан на использовании плана ускорений абсолютно твердого тела.

Ускорение любой точки движущейся плоской фигуры можно определить двумя способами: 1) как геометрическую сумму ускорений этой точки в поступательном и вращательном движениях фигуры и 2) как ускорение этой точки во вращательном движении вокруг мгновенного центра ускорений, причем мгновенным центром ускорений называется такая точка Плоской фигуры, ускорение которой в данный момент равно нулю.

Если известны ускорение некоторой точки А фигуры (ускорение полюса), а также угловая скорость и угловое ускорение фигуры, то ускорение любой ее точки В определяется по формуле

Здесь вектор - ускорение точки В во вращательном движении вокруг полюса касательная и нормальная составляющие этого ускорения.

Следовательно,

при этом вектор направлен вдоль АВ (от точки В к точке А), а вектор перпендикулярен к АВ.

Угол между векторами и ВА определяется по формуле

при этом в случае ускоренного вращения фигуры векторы (вращательная скорость точки В вокруг полюса А) лежат по одну сторону от прямой АВ, в противном случае эти векторы расположены по разные стороны от этой прямой.

Если угловая скорость фигуры постоянна, т. е. , то , а следовательно, и , т. е. вектор совпадает по направлению с вектором ВА. Если же в данный момент , то и вектор перпендикулярен к вектору ВА.

На основании равенства (78) ускорение точки В можно найти построением многоугольника ускорений и применением затем метода проекций, спроектировав векторное равенство (78) на выбранные оси.

Если мгновенный центр ускорений Q принять за полюс, то для ускорения произвольно выбранной точки М фигуры имеем:

но , а потому

т. e. ускорение любой точки М плоской фигуры определяется как ускорение во вращательном движении вокруг мгновенного центра ускорений (рис. 108).

При этом ускорение направлено по прямой MQ от точки М к центру Q, а ускорение перпендикулярно к MQ и

Ускорение точки М равно по модулю

и составит с направлением MQ угол

(84)

Отсюда следует: 1) угол а для всех точек фигуры имеет в данный момент одно и то же значение; 2) ускорения точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра ускорений.

Чтобы определить для данного момента положение мгновенного центра ускорений нужно:

1) найти ускорение какой-либо точки А фигуры [обычно при решении задач рассматриваемого типа ускорение одной точки фигуры (механизма) или задается, или его можно легко найти];

2) повернуть полупрямую, по которой направлен вектор , вокруг точки А на острый угол или в направлении вращения фигуры, если это вращение является ускоренным, или в противоположном направлении в противном случае;

3) на полученной после этого поворота полупрямой отложить отрезок

Отметим два частных случая:

1) пусть , тогда , следовательно, ускорение любой точки М движущейся фигуры направлено , т. е. проходит через центр Q. Поэтому мгновенный центр ускорений Q в этом случае можно найти как точку пересечения прямых, по которым направлены ускорения двух каких-либо точек фигуры;

2) пусть , тогда следовательно, ускорение любой точки М фигуры перпендикулярно к MQ. Поэтому мгновенный центр ускорений Q в этом случае можно найти как точку пересечения перпендикуляров, восставленных из двух каких-либо точек движущейся фигуры к ускорениям этих точек.

Задачи, относящиеся к этому параграфу, можно разделить на следующие четыре группы:

1) задачи, в которых заданы векторы скорости и ускорения одной точки и прямолинейная траектория второй точки плоской фигуры, ускорение которой требуется найти (задачи 566-571, 573-579);

2) задачи, в которых заданы векторы скорости и ускорения одной точки и криволинейная траектория второй точки плоской фигуры, ускорение которой требуется найти (задачи 572, 573, 575);

3) задачи, в которых требуется определить ускорение точки катящегося без скольжения колеса (задачи 556-563);

4) задачи, в которых заданы ускорения двух точек плоской фигуры, а требуется определить ускорение третьей точки этой фигуры (задачи 564, 574, 576-578).

Ускорение произвольной точки твёрдого тела, участвующего в плоском движении, можно найти как геометрическую сумму ускорения полюса и ускорения данной точки во вращательном движении вокруг полюса.

Для доказательства этого положения используем теорему сложения ускорений течки в составном движении. Примем за полюс точку . Подвижную систему координат будем перемещать поступательно вместе с полюсом (рис.1.15 а). Тогда относительным движением будет вращение вокруг полюса. Известно, что кориолисово ускорение в случае переносного поступательного движения равно нулю, поэтому

Т.к. в поступательном движении ускорения всех точек одинаковы и равны ускорению полюса, имеем .

Ускорение точки при движении по окружности удобно представить в виде суммы центростремительной и вращательной составляющих:

.

Следовательно

Направления составляющих ускорения показаны на рис.1.15 а.

Нормальная (центростремительная) составляющая относительного ускорения определяется формулой

Величина его равна Вектор направлен вдоль отрезка АВ к полюсу А (центром вращения вокруг является ).

Рис. 1. 15. Теорема о сложении ускорений (а) ее следствия (б)

Касательная (вращательная) составляющая относительного ускорения определяется формулой

.

Модуль этого ускорения находится через угловое ускорение . Вектор направлен перпендикулярно к АВ в сторону углового ускорения (в сторону угловой скорости, если движение ускоренное и в противоположную сторону вращения, если движение замедленное).

Величина полного относительного ускорения определяется по теореме Пифагора:

.

Вектор относительного ускорения любой точки плоской фигуры отклонён от прямой, соединяющей рассматриваемую точку с полюсом на угол , определяемый формулой

На рис.1.15 б показано, что этот угол одинаков для всех точек тела.

Следствие из теоремы об ускорениях.

Концы векторов ускорений точек прямолинейного отрезка на плоской фигуре лежат на одной прямой и делят её на части, пропорциональные расстояниям между точками.

Доказательство этого утверждения следует из рисунка:

.

Методы определения ускорений точек тела при плоском его движении идентичны соответствующим методам определения скоростей.

Мгновенный центр ускорений

В любой момент времени в плоскости движущейся фигуры существует одна единственная точка, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений (МЦУ).

Доказательство следует из способа определения положения этой точки. Примем за полюс точку А, предполагая известным её ускорение. Раскладываем движение плоской фигуры на поступательное и вращательное. Пользуясь теоремой сложения ускорений, записываем ускорение искомой точки и приравниваем его нулю.

Отсюда следует, что , т. е. относительное ускорение точки Q равно ускорению полюса А по величине и направлено в противоположную сторону. Это возможно только в том случае, если углы наклона относительного ускорения и ускорения полюса А к прямой, соединяющей точку Q, с полюсом А одинаковы.

, , .

Примеры нахождения МЦУ.

Рассмотрим способы нахождения положения МЦУ.

Пример №1: известны , , (рис.1.16 а).

Определяем угол . Откладываем угол в направлении углового ускорения (т. е. в сторону вращения при ускоренном вращении и против - при замедленном), от направления известного ускорения точки и строим луч. На построенном луче откладываем отрезок длиной AQ.

Рис. 1. 16. Примеры нахождения МЦУ: пример №1 (а), пример№2 (б)

Пример № 2. Известны ускорения двух точек А и В: и (рис.1.16 б).

Одну из точек с известным ускорением принимаем за полюс и определяем относительное ускорение другой точки путём геометрических построений. Измерением находим угол и под этим углом проводим лучи от известных ускорений. Точка пересечения этих лучей является МЦУ. Угол откладывается от векторов ускорений в ту же сторону, в какую идёт угол от вектора относительного ускорения к прямой ВА.

Следует отметить, что МЦУ и МЦС разные точки тела, причём ускорение МЦС не равно нулю и скорость МЦУ не равна нулю (рис 1.17).

Рис. 1. 17. Положение МЦС и МЦУ в случае качения катка без скольжения

В тех случаях, когда ускорения точек параллельны друг другу возможны следующие частныйслучаи нахождения МЦУ (рис.1.17)

Рис. 1. 18. Частные случаи нахождения МЦУ:
а) ускорения двух точек параллельны и равны; б) ускорения двух точек антипараллельны; в) ускорения двух точек параллельны, но не равны

СТАТИКА

ВВЕДЕНИЕ В СТАТИКУ

Основные понятия статики, область их применения

Статика - раздел механики, изучающий условия равновесия материальных тел и включающий в себя учение о силах.

Говоря о равновесии, надо помнить, что “всякий покой, всякое равновесие относительны, они имеют смысл только по отношению к той или иной определенной форме движения”. Например, тела, покоящиеся на Земле, движутся вместе с ней вокруг Солнца. Более точно и правильно следует говорить об относительном равновесии. Условия равновесия различны для твердых, жидких и газообразных, деформируемых тел.

Большинство инженерных сооружений можно считать малодеформируемыми или жесткими. Абстрагированием можно ввести понятие абсолютно твердого тела: расстояния, между точками которого не изменяются с течением времени.

В статике абсолютно твердого тела решатся две задачи:

· сложение сил и приведение системы сил к простейшему виду;

· определение условий равновесия.

Силы имеют различную физическую природу, часто неясную до конца и в настоящее время. Вслед за Ньютоном, будем понимать силу как количественную модель, меру взаимодействия материальных тел.

Модель силы по Ньютону определяется тремя главными характеристиками: величиной, направлением действия и точкой ее приложения. Опытным путем установлено, что введенная таким путем величина имеет векторные свойства. Более подробно они рассматриваются в аксиомах статики. В международной системе единиц СИ, используемой в соответствии с ГОСТом, единицей измерения силы является ньютон (Н). Изображение и обозначение сил показано на рис.2.1 а

Совокупность сил, действующих на какое-либо тело (или систему тел) называется системой сил.

Тело, не скрепленное с другими телами, которому можно сообщить движение в любом направлении, называется свободным.

Система сил, полностью заменяющая другую систему сил, действующую на свободное тело, не изменяя при этом состояния движения или покоя, называется эквивалентной.

Рис. 2. 1. Основные понятия о силах

Система сил, под действием которой тело может находиться в состоянии покоя, называется эквивалентной нулю или уравновешенной.

Одна сила, эквивалентная системе сил, называется ее равнодействующей. Равнодействующая существует не всегда, например, в случае изображенном на рисунке ее не существует.

Одна сила, равная по величине равнодействующей, но противоположно ей направленная, называется уравновешивающей для исходной системы сил (рис.2.1 б).

Силы, действующие между частицами одного тела, называются внутренними, а действующие со стороны других тел - внешними.

Аксиомы статики